ジョン・フォン・ノイマンは1927年に、量子力学の基礎となるヒルベルト空間を定義した。この空間は、対象のすべての可能な未来を表すベクトルが動く抽象的な場である。この定義は、ハイゼンベルクの行列力学とシュレーディンガーの波動力学を一つの枠組みで統合した。

ヒルベルト空間は、完備で内積が定義できるという条件で特徴付けられ、これにより量子状態がある軸にどれだけ整列しているかを測定できる。量子系の状態はこの空間のベクトルで表され、観測前の重ね合わせは観測時にランダムな軸へ崩壊し、特定の結果をもたらす。

ヒルベルト空間が実在する物理的実体か、単なる有用な数学的道具かについては物理学で意見が分かれている。一部の研究者はこの枠組みを拡張するフォン・ノイマン代数に注目している。この議論は、量子重力やブラックホールの内部構造といった根本的な問題を探求する研究の方向性に影響を与えている。